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En mathématiques, une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu'ils existent.

Une relation de récurrence est une équation dans laquelle l'expression de plusieurs termes de la suite apparait, par exemple :

un+2−2un+3+un=0{displaystyle u_{n+2}-{sqrt {2u_{n+3}+u_{n}}}=0}

ou

un2=un{displaystyle u_{n^{2}}=u_{n}}

ou

(un+2)2−un−un+1=0{displaystyle (u_{n+2})^{2}-u_{n}-u_{n+1}=0}

ou si l'on se place dans les suites de mots sur l'alphabet {a,b}{displaystyle {a,b}} :

αn+1=aαnbb{displaystyle alpha _{n+1}=aalpha _{n}bb}

Si la relation de récurrence a une « bonne » présentation, cela permet de calculer l'expression du terme d'indice le plus élevé en fonction de l'expression des autres. Par exemple dans la dernière équation, si on admet que les un{displaystyle u_{n}} sont des réels positifs, on peut écrire :

un+2=un+1+un.{displaystyle u_{n+2}={sqrt {u_{n+1}+u_{n}}}.}

Une relation de récurrence et la donnée de « suffisamment » de termes initiaux permettent souvent de déterminer l'expression de tous les termes d'une suite (voir définition par récurrence).

Une relation de récurrence très simple est celle qui lie le terme d'indice n + 1 au terme d'indice n.

Exemple — On définit les puissances zn{displaystyle z^{n}} d'une variable z{displaystyle z} par la relation de récurrence :

zn+1=z×zn{displaystyle z^{n+1}=z;times z^{n}} et l'initialisation z0=1{displaystyle z^{0}=1}.

Exemple — La suite de Fibonacci est définie par la donnée de u0=1{displaystyle u_{0}=1} et u1=1{displaystyle u_{1}=1} et par la relation de récurrence un+2=un+un+1{displaystyle u_{n+2}=u_{n}+u_{n+1}} ; cette relation de récurrence est dite « linéaire ».

Voir aussi |

• Suite (mathématiques)


• Suite récurrente linéaire

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