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En mathématiques, une combinaison linéaire est une expression construite à partir d'un ensemble de termes en multipliant chaque terme par une constante et en ajoutant le résultat. Par exemple, une combinaison linéaire de x et y serait une expression de la forme ax + by, où a et b sont des constantes.

Le concept de combinaison linéaire est central en algèbre linéaire et dans des domaines connexes des mathématiques. La majeure partie de cet article traite des combinaisons linéaires dans le contexte d'espace vectoriel sur un corps commutatif, et indique quelques généralisations à la fin de l'article.

Définitions |

Soient K un corps commutatif et E un espace vectoriel sur K. Les éléments de E sont appelés les vecteurs et les éléments de K les scalaires. Si v₁, …, v_nsont des vecteurs et a₁, …, a_n des scalaires, alors la combinaison linéaire de ces vecteurs ayant comme coefficients ces scalaires est le vecteur a₁v₁ + … + a_nv_n.

Pour parler de combinaison linéaire d'une famille (v_i)_i∈I de vecteurs de E indexée par un ensemble I éventuellement infini, il est nécessaire de supposer que la famille (a_i)_i∈I de scalaires est à support fini, c'est-à-dire^[1] qu'il n'y a qu'un ensemble fini d'indices i pour lesquels a_iest non nul. La combinaison linéaire^[1] des v_i de coefficients les a_iest alors^[2] la somme ∑_i∈Ia_iv_i (en particulier, une combinaison linéaire ne portant sur aucun vecteur est la somme vide, égale au vecteur nul).

Une « relation de dépendance linéaire » est une combinaison linéaire égale au vecteur nul. Une famille de vecteurs est liée si elle possède au moins une relation de dépendance linéaire « non triviale », c'est-à-dire à coefficients non tous nuls.

Une partie non vide F de E est un sous-espace vectoriel si et seulement si F est « stable par combinaisons linéaires », c'est-à-dire si toute combinaison linéaire de vecteurs de F est encore un vecteur de F.

Exemples |

• Soient K le corps ℝ des nombres réels et E l'espace vectoriel euclidien ℝ³.
  Considérons les vecteurs e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0) et e₃ = (0, 0, 1).
  Alors, tout vecteur (a₁, a₂, a₃) de ℝ³ est une combinaison linéaire de e₁, e₂ et e₃. En effet, (a₁, a₂, a₃) = a₁(1, 0, 0) + a₂(0, 1, 0) + a₃(0, 0, 1) = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃.


• Soient K le corps ℂ des nombres complexes et E l'espace des fonctions de ℝ dans ℂ. Les formules d'Euler expriment les fonctions f : x ↦ e^ix et g : x ↦ e^–ix comme combinaisons linéaires des fonctions cosinus et sinus : f = cos + i sin, g = cos – i sin et inversement : cos = (1/2) f + (1/2)g, sin = (–i/2) f + (i/2)g. Par contre, les fonctions constantes non nulles ne sont pas combinaisons linéaires de f et g, autrement dit : les fonctions 1, f et g sont linéairement indépendantes^[3].

Sous-espace vectoriel engendré |

Considérons à nouveau un corps commutatif K, un K-espace vectoriel E et v₁, …, v_ndes vecteurs de E. L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs s'appelle le « sous-espace vectoriel engendré » (ou juste « sous-espace engendré ») par ces vecteurs et se note Vect(v₁, …, v_n) :

Vect(v1,…,vn)={a1v1+⋯+anvn∣a1,…,an∈K}.{displaystyle mathrm {Vect} (v_{1},ldots ,v_{n})={a_{1}v_{1}+cdots +a_{n}v_{n}mid a_{1},ldots ,a_{n}in K}.}

Généralisations |

Si E est un espace vectoriel topologique, alors il est possible de donner un sens à une combinaison linéaire infinie, en utilisant la topologie de E.
Par exemple, nous pourrions parler de la somme infinie a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ + … .

De telles combinaisons linéaires infinies n'ont pas toujours un sens ; nous les qualifions de convergentes lorsqu'elles en ont un.
Le fait de pouvoir considérer davantage de combinaisons linéaires dans ce cas peut également mener à des concepts plus larges de sous-espace vectoriel engendré, d'indépendance linéaire, et de bases.

Si K est un anneau commutatif au lieu d'être un corps, alors tout ce qui a été dit au-dessus sur les combinaisons linéaires se généralise sans aucun changement.
La seule différence est que nous appelons ces espaces E des modules au lieu d'espaces vectoriels.

Si K est un anneau non commutatif, alors la notion de combinaison linéaire se généralise encore, cependant avec une restriction :
puisque les modules sur les anneaux non commutatifs peuvent être des modules à droite ou à gauche, nos combinaisons linéaires peuvent également être écrites à droite ou à gauche, c'est-à-dire avec des scalaires placés à droite ou à gauche, selon la nature du module.

Une adaptation plus compliquée survient lorsque E est un bimodule sur deux anneaux, K_Get K_D. Dans ce cas, la combinaison linéaire la plus générale ressemble à a₁v₁b₁ + … + a_nv_nb_n, où a₁, …, a_nappartiennent à K_G, b₁, …, b_nappartiennent à K_D et v₁, …, v_nappartiennent à E.

Notes et références |

Articles connexes |

• Combinaison affine


• Combinaison convexe

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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